Изначально не включался. Микросхема BIOS оказалась неисправной (не отдает ID на программаторе) . Вместо MX поставил Winbond того же объема. Запустился.
Появилась проблема с "невыключением". Записал другой BIOS, начал нормально выключаться.
Сеичас работает почти 30 минут (windows\linux\bios) и отключается.

Прошу пнуть в нужном направлении.

Пробовал разные варианты.

Тут не совсем понятно, выключаете блок питания, вытаскиваете батарею, а он работает ? Либо система не выключает, так это проблема системы
После запуска Bios уже не работает, так что он не при делах
по отключению:
Смотрите систему охлаждения (отпечаток пасты на кристале чипов должен быть равномерным)

Прошейте биос с чистым МЕ.
Именно для B560.