На рисунке схема подключения батареи.
Объясните назначение цепей обведенных красным.
Напряжение с батареи принимается через Bat ?
Куда на батарею подается напряжение для заряда? Тоже на Bat?

BAT - плюсовой вывод батареи. И берется с него, и заряжается через него. Как и у всех АКБ.
B_SMBCLK1 и B_SMBDATA1 - SMBbus - по этой шине контроллер в батарее общается с платой (с EC контроллером и порой - с чарджером).
B_BAT_IN# - температурный датчик в самой батарее, идет, как правило на EC контроллер (по схеме уточняйте).
4 вывод через нулевку - блокировка батареи, чтоб в снятом состоянии на плюсовой клемме ничего небыло.

У меня этот контакт на плате не прозванивается на землю. Т.е. между этим контактом в разъеме и землей разрыв.
Сгорела "нулевка"?

На Вашей схеме указано, что не установлено. Т.ч. все нормально.